3分の1が0.1？〜無限小数のこと３ - No Haste, No Chains ～数学の教育をつくろう～

「3分の1が0.1？　 $\frac 13=0.3333\cdots$ なんだから，0.1なわけないじゃん！」
という声が聞こえそうですが…。

正確には
　　　 $\frac13=0.1_{(3)}$ 　（もっと正確に $\frac13_{(10)}=0.1_{(3)}$ ）

つまり，「（10進法の分数） $\frac13$ を3進法の小数で表すと0.1」ということです。
新課程の数学A（H24年度以降入学の高校生が履修）の教科書*1の「整数の性質」という単元の中に載っていました。

「10進法」は私たちが日常使っている，位取りの基礎を10とする方法のことで，「3進法」は位取りの基礎を3にする方法です。詳しくはここ *2などでどうぞ。
「整数の性質」というのは新課程で新たに入った単元なのですが，「n進法」も教科書の載ってるんですね。私が中学のときの教科書には少しだけ載っていたのですが（小数のことまではないですが。授業でやったかは不明），それ以来だと思います。

10進法の小数 $0.a_1a_2a_3\cdots$ の意味は　 $0.a_1a_2a_3\cdots=a_1\cdot \frac1{10^1}+a_2\cdot \frac1{10^2}+a_3\cdot \frac1{10^3}+\cdots$

3進法の小数 $0.a_1a_2a_3\cdots\,_{(3)}$ の意味は　　 $0.a_1a_2a_3\,_{(3)}\cdots=a_1\cdot \frac1{3^1}+a_2\cdot \frac1{3^2}+a_3\cdot \frac1{3^3}+\cdots$

なので，10進法だと
　　　 $\frac13=3\cdot \frac1{10^1}+3\cdot \frac1{10^2}+3\cdot \frac1{10^3}+\cdots=0.333\cdots$
なのが，3進法だと
　　　 $\frac13=1\cdot\frac13=0.1_{(3)}$

というわけです。無限小数という“なんか怪しげなヤツ”だと思った3分の1も，見方を変えればスッキリとした親しみやすい人だったんだ，という感じ。面白いですね。

ちなみに，みんなに親しまれている2分の1は，3進法の世界では
　　　 $\frac12=1\cdot \frac1{3^1}+1\cdot \frac1{3^2}+1\cdot \frac1{3^3}+\cdots=0.111\cdots\,_{(3)}$
実はちょっと怪しげなヤツだったりします。

*1:数研「数学A」平成23年3月16日検定済み

*2:wikipedia「位取り記数法」