どうして“できない”なんて言うの？〜角の3等分線のこと

角の3等分線といえば，三大作図不可能問題の1つとして有名ですが，図書館で借りた「すごいぞ折り紙 入門編: 折り紙の発想で幾何を楽しむ」*1に，折り紙で任意の鋭角の3等分線を折り紙で作る方法が載っていました。作図不可能なのに，折り紙で作れるなんてすごいですね。角の3等分の折り紙は，著者が“三次元折り”と名づけた，ある点をある線分上に，同時に別の点がさっきとは別の線分上にくるように折るという従来の折り紙にはなかった折り方がポイントになっています。

角の3等分線で思い出すことなど。
学校で角の2等分線の作図について習った時なので，たぶん中学1年のときのこと。

先生は，「このようにどんな角も正確に2等分できます」と角の2等分線の作図方法が正しいことの説明をした後，
　　「しかし，3等分については，できるのは，90°などの特別な角だけです。勝手に与えられた角を3等分することはできません」
みたいなことを付け加えました。それを聞いた私が思ったのは…

　　えー！　どうして“できない”なんて決めつけちゃうんだろう。方法が“見つかってない”ってだけじゃないの？　　

「任意の角を3等分する方法はない」を，「宇宙人はいない」とか「ツチノコはいない」とかと同列にとらえていたんですよね。いくら探しても見つからないし，現代の常識をもとにすると“いない”となるんだろうけど……という感じ。で，次に思ったのは

　　じゃあ，探してみよう！

宇宙を調べたり，ツチノコを探しにあちこち行ったりするのと違って，紙と定規とコンパスがあればいいので，探せば見つかるかもと思ったんですよね。

それから，休み時間や家に帰ってからいろいろ試してみました。試すといっても，平行線や角の2等分やら垂直2等分線やらを闇雲に描いてみるだけですが。テストで時間が余ったときに答案の裏でやったりもしました。なかなかできなくて（当然ですが），定規とコンパスを立体的に使ったらできるんじゃないかと考えたこともありました。
　※注意：こんな使い方をすることは認められていません。*2
たまに，それらしい線が描けることがあると，別の大きさの角でも試してみたり，なんとなく良さげだったら，その方法が正しい（どんな角でも3等分できる）ことを証明（説明）しようとしました。証明するといっても，使える道具は3角形の合同条件と平行線と角の性質（同位角は等しいとか）くらいしかないわけですが。角の2等分線については，3角形の合同を使って説明していたので*3，それらしい線が描けるだけではだめで，ちゃんと説明できないといけないということはわかってたみたいです。

当然，3等分の方法は見つからず，諦めたのか，単に飽きたのかは忘れましたが，3等分の方法探しはいつの間にかやめてしまいました。

背理法なんかも知らず，“不可能を証明する”ことができるなんて思いもしなかった頃の話。
角の3等分については，こんな本↓も出ています。
　　「角の三等分」著：矢野健太郎，解説：一松信（ちくま学芸文庫）

　　　　　　
　

*1:「すごいぞ折り紙 入門編: 折り紙の発想で幾何を楽しむ」著：阿部 恒（日本評論社）

*2:「ここで、定規は2点を通る直線を引くための道具であり、目盛りがついていても長さを測るのには使わないものとし、コンパスは与えられた中心と半径の円を描くことができる道具である。」Wikipadia「定規とコンパスによる作図」より

*3:3角形の合同条件やそれを使った2等分線の作図が正しいことの説明は，当時（1978年度）は中1でしたが，現在は中2の学習内容のようです。作図の方法についてはどちらも中1。