2次方程式の解の公式 - No Haste, No Chains ～数学の教育をつくろう～

　　　 $x$ の2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ $(\;a\neq0)$ の解は
　　　　　　 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
　
これが2次方程式の解の公式。
現行課程では高校範囲（また中学に戻るみたいだけど）。
高1の子供の春休み（入学前）の課題の中では「発展」*1の形で出てきていた。
私のころは中3で習った。
それについて思い出すことなど。
　
2次方程式の解の公式が出てきたのは，平方完成による2次方程式の解法をさんざんやった後。
平方完成による解法は面倒だった。
　　　　 $x^2+6x+7=0$
みたいな，計算しやすいタイプ（ $x^2$ の係数が1， $x$ の係数が偶数）の問題ばかりではなくて
　　　　 $5x^2+7x+1=0$
のように，まず両辺を5で割って･･･というものもやったような気がする*2。
処理の段階も多いし，分数は出てくるし…。
　
そんな面倒な計算の後の公式である。
中学で習う公式はいくつかあるけれど，2次方程式の解の公式はその中でもずば抜けて複雑。
これをいきなり見せられて「覚えなさい」となると，「え〜(>_<)」となったかもしれないけれど，
公式の複雑さより，「これで面倒な計算から解放される」という気持ちのほうが強かった。
　　
先生は，黒板で公式を導いてみせた後， $ax^2+bx+c=0$ の解の公式を自分でも導いてみるように言った。
　
面倒な平方完成，しかも分数を含む文字式の計算である。
当然，時間のかかる子はかかる。でも，早くできる子はできる。
早くできた子に対して先生の出した課題
　　　出来た人は　 $px^2+qx+r=0$ でやってみて
それも出来たら，こんどは
　　　 $sx^2+tx+u=0$ でやってみて
私は「早くできた子」だったので，そうして，何度も解の公式を導くことになった。
　
公式を導く処理は，散々やってきた平方完成による解法そのものである。
違うのは，数字が文字に変わったことだけ。
この経験によって「公式は導くもの」としてインプットされたような気がする。
　
　
そういえば， $x$ の2次方程式 $ax^2+2b'x+c=0$ の解の公式

　　　　　　 $x=\frac{-b'\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a}$

はやっていない。「発展」ということでやらせてもよさそうなのに。
解の公式を学習したばかりの生徒が，2通りの解の公式で混乱してしまうのを危惧したのか，単純に中学での範囲を超えているから教えるべきでない（教えられない）のか。
　
もうひとつ，
解の公式を用いて2次方程式を解く場合， $\sqrt{{b}^2-4ac}$ 　を計算することになる。
正であることを確認してからルートをとる平方完成の方法と違って，いきなりルートの中に数字を入れるわけだ。ルートの中味がマイナスになったらどうしよう，っとチラッと思ったところで，それを見透かしたように先生は
　　「ルートの中味がマイナスになるような問題は出さないから，安心して代入していいよ」
といった。ホッとした。虚数なんて知らないころの話。

*1:課題の中には高校範囲の内容がヒントつきで少し含まれている。

*2:教科書を見てみたら，当時も平方完成の項の練習問題は $x^2$ の係数が1のもののみ。 $x$ の係数に奇数のものはあるけど。記憶違いかなぁ。それとも，先生が教科書とは別にやらせた問題なのか…